Nawigacja


O przedmiocie

Matematyka



Matematyka jest królową wszystkich nauk,
jej ulubieńcem jest prawda,
a prostość i oczywistość jej strojem

Jędrzej Śniadecki


CIEKAWOSTKI MATEMATYCZNE

  • Cykloida, co to takiego?
  • Figura geometryczna o polu równym zero
  • Prawdopodobieństwo trafienia szóstki w Dużym Lotku
  • Przechadzki po plaży
  • O liczbie Pi
  • Trójkąt pitagorejski
  • Trójkąt Pascala
  • Nazewnictwo dużych liczb

CYKLOIDA, CO TO TAKIEGO?

Gdy koło toczy się po prostej, punkt (np.: gwóźdź) na jego obwodzie opisuje cykloidę. Podczas obrotu koła w każdej chwili punkt na obwodzie koła biegnie ku najwyższemu punktowi lub ucieka od niego, a szybkość jest proporcjonalna do odległości ruchomego punktu od najniższego punktu. Długość cykloidy pomiędzy dwoma ostrzami jest równa obwodowi kwadratu opisanego na kole toczącym się. Jeżeli koło będzie się toczyć z tą samą prędkością, ale będzie dwa razy większe, i będzie miało zaznaczoną średnicę, która z początku będzie pionowa, będzie się ona stale ślizgać po cykloidzie utworzonej przez punkt na obwodzie mniejszego koła. Jeżeli punkt nie będzie umieszczony na obwodzie koła, ale bliżej środka, to otrzymamy krzywą bez ostrzy, natomiast jeśli ten punkt będzie umieszczony na przedłużeniu promienia (poza kołem), powstanie krzywa z pętlami. Ciekawy jest fakt, że kulka tocząca się po cykloidalnej rynience wyprzedza kulkę po pochyłej płaszczyźnie, nawet jeżeli musi część ruchu odbyć w górę.



FIGURA GEOMETRYCZNA O POLU RÓWNYM ZERO


Figurą geometryczną o zerowym polu jest kwadrat sito, który powstaje poprzez wyeliminowanie z jego środka punktu, podzieleniu go na 4 kwadraty, z każdego powstałego kwadratu wyeliminowaniu środka, podzieleniu go na 4 kwadraty, itd. Po takim zabiegu pozostanie kwadrat z pozostałą nieskończoną liczbą punktów wewnątrz, ale o polu równym 0.





PRAWDOPODOBIEŃSTWO TRAFIENIA SZÓSTKI W DUŻYM LOTKU

Zwolennicy gier liczbowych (np. Dużego Lotka) wiedzą jak trudno jest trafić choćby trójkę, nie mówiąc nic o szóstce. Prawdopodobieństwo trafienia szóstki wynosi 1/14 000 000, oznacza to, że jest możliwych 14 mln kombinacji 66-cio elementowych ze zbioru 49-cio elementowego. Prawdopodobieństwo trafienia piątki wynosi około 1/54500, prawdopodobieństwo trafienia czwórki: 1/1040, oraz prawdopodobieństwo trafienia trójki 1/57. Prawdopodobieństwo trafienia trójki jest już całkiem spore, ale trafienie trójki jest niewiele płatne. Trzeba więc mieć szczęście i trafić większą ilość liczb.


PRZECHADZKI PO PLAŻY

Na piaszczystej plaży najwygodniej jest wędrować po mokrym pasie piasku pozostawionym przez wycofujące się fale. Tam piasek jest twardy, a jego powierzchnia równa, więc idzie się łatwiej niż po suchej części plaży. Aby uniknąć przemoczenia butów i skarpetek, należy ciągle uważać na fale zalewające przybrzeżny pas mokrego piasku. Można zaproponować prostą regułę postępowania: zamiast patrzeć się w bok, patrzymy w kierunku marszu: w każdym momencie widzimy chwilową granicę wody na sporym odcinku przed sobą. Należy iść w kierunku prostej dotykającej aktualnej granicy wody w jednym tylko punkcie. Kierunek ten jest zmienny, ale punkt styczności leży zazwyczaj dostatecznie daleko, aby zmiany kierunku były nieznaczne i łatwe do realizacji; nie musimy przy tym patrzeć stale w lewo ani też wykonywać nagłych skoków w prawo w ucieczce prze d nadbiegającym językiem fali.



 


O LICZBIE PI

Już w starożytności zauważono, że stosunek długości obwodu okręgu do długości jego średnicy (tak najczęściej definiuje się liczbę pi) jest wielkością stałą i co istotne, wielce przydatną do obliczania pól rozmaitych figur. W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić, czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nie znanych nnam z imienia uczonych. W III wieku przed Chrystusem, Archimedes oszacował pi jako 22/7 (czyli z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku), a do wwyniku 3,1416 doszedł dopiero w II wieku naszej ery Klaudiusz Ptolemeusz.Używany dzisiaj symbol pi nie pochodzi wcale z czasów starożytnych. Wprowadził go w 1706 roku Wiliam Jones (pi pochodzi od pierwszej litery greckiego słowa "peryferia"). Liczba ta nazywana jest również ludolfiną, od imienia Ludolpha van Ceulena, który w 1596 roku podał jej przybliżenie z dokładnością 35 miejsca po przecinku, co w tamtych czasach było ogromnym wyczynem. Obecnie nie ma problemów, aby poznać liczbę pi choćby do milionowego miejsca po przecinku, z pomocą ludziom przychodzą komputery. Jesienią 1995 r. ogłoszony został rekord wynoszący ^ 442 450 000 cyfr. Odpowiednią liczbę osiągnięto za pomocą programu napisanego przez Japończyka Daisuke Takahashi, sprawdzonego niezależnie na dwóch komputerach. Czas pracy każdego z nich wynosił 5 5 dni!!!


TRÓJKĄT PITAGOREJSKI

Trójkąt pitagorejski to trójkąt prostokątny, którego długości boków są wyrażone liczbami naturalnymi.

Przykłady trójkątów pitagorejskich:

Jeśli pomnożymy długości boków każdego z tych trójkątów przez dowolną liczbę naturalną to otrzymamy również trójkąty pitagorejskie.



TRÓJKĄT PASCALA


Trójkąt Pascala, nazywany także trójkątem arytmetycznym, jest to sugestywnie zapisany układ liczb naturalnych.
 
 
Trójkąt Pascala to trójkątna tablica, której pierwszy wiersz stanowi liczba 1, a każdy powstaje w ten sposób, że pod każdymi dwoma sąsiednimi wyrazami poprzedniego wiersza pisze się ich sumę, a na początku i na końcu każdego nowego wiersza dopisuje się jedynki.


Trókąt Pascala jest ściśle związany z symbolem Newtona, dzięki własności (wyrazy i wiersze są liczone od 0)

 

 

k-ty wyraz w n-tym wierszu =







NAZEWNICTWO DUŻYCH LICZB

tysiąc

103

1 000

milion

106

1 000 000

miliard

109

1 000 000 000

bilion

1012

1 000 000 000 000

biliard

1015

1 000 000 000 000 000

trylion

1018

1 000 000 000 000 000 000

tryliard

1021

1 000 000 000 000 000 000 000

kwadrylion

1024

1 000 000 000 000 000 000 000 000

kwintylion

1030

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

sekstylion

1036

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

septylion

1042

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

oktylion

1048

1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

nonylion

1054

 

decylion

1060

 

centylion

10600

 



Ciekawostki o liczbach


Palindrom

Jest to liczba naturalna, którą czyta się tak samo od początku i od końca nazywamy palindromem. Przykładem liczb palindromicznych: 55, 494, 30703Liczba złota
Liczba 1/2(√5-1) to liczba złota. Wyraża ona długość odcinka spełniającego warunek tzw. złotego podziału. Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze. Wielki astronom Kepler powiedział:
"Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi - podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby kamień drogocenny".
Obecnie złoty podział jest też często stosowany, np. wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.
Liczba złota ma ciekawe własności:
- aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę,
- aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkęLiczby zaprzyjaźnione
Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest równa sumie dzielników właściwych drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby). Przykładem pary najmniejszych liczb zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284. Dzielniki właściwe liczby 220 to:
{1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110} więc 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
Dzielniki właściwe liczby 284 to:
{1,2,4,71,142} więc 1+2+4+71+142=220
Inną parą liczb zaprzyjaźnionych jest para liczb 1184 i 1210.
Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą. Znanych jest blisko 8000 par liczb zaprzyjaźnionych, nie wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończenie wiele. Liczby zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI w.p.n.e), przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście w miłości.

Liczby doskonałe
Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich dzielników właściwych. Przykładem takich liczb są 6, 28, 496, ponieważ dzielniki właściwe tych liczb (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby) to:
D6={1,2,3} 1+2+3=6
D28={1,2,4,7,14} 1+2+4+7+14=28
D496={1,2,4,8,16,31,62,124,248} 1+2+4+8+16+31+62+124+248=496

Dotychczas znaleziono tylko 39 liczb doskonałych. Starożytni Grecy przypisywali liczbie 6 szczególne znaczenie. Wcześni komentatorzy Biblii upatrywali doskonałości liczb 6 i 28 specjalnego sensu. Bo czyż nie w 6 dni został stworzony świat i czy Księżyc nie obiega Ziemi w czasie 28 nocy? Wiele wymiarów w świątyni Salomona nawiązuje do liczby sześć. Żyjący na przełomie I i II wieku Mikomachos, autor "Arytmetyki", uważał, że obiekty doskonałe i piękne zawsze są rzadkie, toteż nie należy się spodziewać, że liczb doskonałych będzie dużo. I rzeczywiście Euklides zauważył, że liczby postaci 2p-1(2p - 1) są doskonałe, o ile 2p - 1 jest liczbą pierwszą. Dzięki temu mógł podać dwie nowe liczby typu: 496 i 8128. Kolejną, piątą liczbę doskonałą znaleziono dopiero w XV wieku - była to 33550336. Dwa tysiące lat po Euklidesie Leonhard Euler wykazał, że wszystkie parzyste liczby doskonałe mają postać zaproponowaną przez Euklidesa. Euler znalazł trzy kolejne liczby doskonałe. Szczęśliwym dla liczb doskonałych był rok 1952, kiedy po raz pierwszy do poszukiwań użyto maszyny liczącej. Do tej pory znano ich tylko 12, w ciągu roku znaleziono kolejne 5

Dziura Budżetowa
Matematyka znalazła przyczynę współczesnych problemów gospodarczych, dziury budżetowej i bezrobocia. Winny jest Bolesław Chrobry, gdyz gdyby w roku 1002 złożył w banku chociaż jeden grosz przy oprocentowaniu 4% rocznie i przy corocznym doliczaniu odsetek, w roku 2002 mielibyśmy w kasie państwa dodatkowe 1 071 500 000 000 000 zł czyli ponad milion miliardów!!!. Nic tylko iść do banku i lokować pieniądze….
Ciało Ludzkie
Uczeni oceniają, że ciało ludzkie składa się z 10 + 28 zer atomów. Silnik robiący 33 obroty na sekundę musiałby się obracać 10 000 000 000 000 000 000 lat, żeby ilość obrotów dorównała liczbie ludzkich atomów. Kto by pomyślał jacy my jesteśmy skomplikowani...



Zagadki matematyczne



ZAGADKA 1 - Która lżejsza


 


W pudełku znajduje się dziewięć kulek, wśród nich jest jedna lżejsza. Mając do dyspozycji wagę szalkową znajdź kulkę lżejszą. Uwaga: z wagi można skorzystać tylko dwa razy.



ZAGADKA 2 - Cztery litry


 


W jaki sposób uzyskać z beczki 11 litrowej cztery litry wody mając dwa pojemniki: trzy litrowy i pięcio litrowy.



ZAGADKA 3 - Zamiana zajęcy na kury


 


Wieśniak zamieniał zające na kury, przy czym za trzy kury dawał dwa zające. Każda kura zniosła mu tyle jajek, ile wynosiła trzecia część wszystkich otrzymanych kur. Wieśniak sprzedając jaja brał za każde 9 jaj po tyle kopiejek, ile każda kura zniosła jaj, a za wszystkie otrzymał 24 ałtany (dawna nazwa rosyjskiej monety trzykopiejkowej). Ile było kur, a ile zajęcy.

ZAGADKA 4 - Sprint


 


Piotr i Paweł ścigają się na 100 metrów. Piotr wygrywa o 10 metrów. Decyduje się ścigać jeszcze raz, ale tym razem, aby wyrównać szanse, Piotr startuje 10 metrów przed linią startu. Załóżmy, że obaj biegną z taką samą prędkością jak poprzednio. Kto wygra?


ZAGADKA 5 - Trzy naczynia z wodą


 


Były trzy jednakowe beczułki, a w nich znajdowały się różne ilości wody. Z pierwszej beczułki przelano do drugiej i do trzeciej beczułki tyle wody, ile w każdej z nich przedtem było. Potem z drugiej beczułki przelano do trzeciej i do pierwszej beczułki tyle wody, że ilość wody w każdej z nich została podwojona. Wreszcie z trzeciej przelano do pierwszej i do drugiej beczułki tyle wody, ile w każdej z nich było, a wtedy okazało się, że w każdej z beczułek było po 24 litry wody. Oblicz ile wody było pierwotnie w każdej beczułce.



ZAGADKA 6 - Bieganina po schodach


 


Pewna spółdzielnia ma po jednym odbiorcy na parterze i na każdym piętrze sześciopiętrowego domu. Schody pomiędzy poszczególnymi piętrami mają po 18 stopni, a przed drzwiami wejściowymi znajduje się jeszcze podmurek z 6 stopni. Któregoś dnia posłaniec musiał dostarczyć każdemu z klientów jednakowej wielkości paczkę, przy czym za każdym razem mógł unieść tylko jedną paczkę. Po ilu stopniach będzie musiał wejść i zejść, by dostarczyć wszystkie paczki do miejsca ich przeznaczenia?



ZAGADKA 7 - Równy podział


 

Na rysunku 1 podzieliliśmy tarczę zegara tak aby suma liczb w obu częściach była jednakowa. Podobnie na rysunku 2 suma liczb w każdej z trzech części jest taka sama.

Rysunek 1

Rysunek 2


Podziel tarczę na 6 takich części, aby suma liczb w każdej z nich była taka sama.



ZAGADKA 8 - Samochody i samolot


 


Odległość między miastem A i B wynosi 800 kilometrów.

W tym samym dniu, w tej samej godzinie, minucie i sekundzie wyjeżdżają z obu miast ku sobie na spotkanie dwaj automobiliści i “pędzą” bez zatrzymania się z prędkością 50 kilometrów na godzinę, równocześnie z nimi startuje samolot z miasta A lecący 100 kilometrów na godzinę). Samolot wyprzedziwszy automobilistę jadącego z miasta A, leci na spotkanie drugiego, który wyjechał z miasta B. Spotkawszy go zawraca natychmiast i leci ku drugiemu - i tak powtarza swój lot naprzód i wstecz tak długo, aż się automobiliści spotkają. Ile kilometrów przeleci samolot?


ZAGADKA 9 - Odczytaj hieroglify


 


Siedem symboli przedstawionych poniżej wygląda na jakiś rodzaj starożytnego pisma. Każdy symbol ma tu jednak określone znaczenie i jeśli odgadniesz, nie będziesz miał kłopotów z narysowaniem w kwadracie następnego symbolu tego dziwnego ciągu.

:

 

ZAGADKA 10 - Zbuduj kwadrat

 

 


 Należy przesunąć jedną z tych zapałek w taki sposób, żeby powstał kwadrat.


 

ZAGADKA 11 - Któ mówi prawdę?

 

 


Było sobie dwóch braci stojących na rozdrożu dróg z których jedna prowadziła do schroniska, a druga w zimne i niebezpieczne góry. Jeden z tych braci zawsze mówił prawdę a drugi zawsze kłamał. Jakie pytanie powinien zadać turysta braciom (tylko jedno) aby wiedział która droga prowadzi do schroniska?



ZAGADKA 12- Kawki i ławki.

 


Przyfrunęły raz kawki i usiadły na ławki.
Gdyby do każdej ławki przyleciały dwie kawki,
Wtedy jedna z ławek byłaby bez kawek.
Gdyby na każdej ławce siadło po jednej kawce,
Wtedy dla jednej kawki zabrakłoby już ławki.
Ile było kawek, ile stało ławek?




ZAGADKA 13 - Jak najszybciej.

 

 

Czwórka dzieci chce późną nocą przejść przez most, który jest zrobiony z desek i lin. Jego jakość jest na tyle kiepska, że mogą być na nim jednocześnie co najwyżej dwie osoby (bo inaczej może się zarwać). Dzieci dysponują tylko jedną latarką, więc jeżeli chcą przejść w dwójkę, to muszą trzymać się bardzo blisko siebie (a bez latarki przejść się nie da). Niestety w latarce już się kończy bateria, więc dzieciom zależy, żeby przejść jak najszybciej na drugą stronę. Wiedząc, że pierwsze dziecko jest w stanie przejść most w minutę, drugie w dwie, trzecie w pięć, a czwarte w dziesięć, zaplanuj ich drogę (optymalną pod względem czasowym)



ZAGADKA 14 Równy podział?


 

Jak za pomocą 3 linii na kartce papieru podzielić okrąg na 4 równe części?



ZAGADKA 15 -Ile kilometrów?

 


Pewien statek przepłynął 14 km na północ, po czym zgodnie z kursem 3km na zachód. Niestety potem wezbrał się silny wiatr, wobec czego statek zboczył z kursu przepływając 5km w kierunku zbliżonym do południowy-zachód, przy czym ilość km przepłyniętych na południe jest o jeden większa od kilometrów przepłyniętych na zachód. W jakiej odległości od punktu wypłynięcia znajduje się teraz ten statek?






Wiadomości

Kontakt

  • Szkoła Podstawowa nr 35 w Dąbrowie Górniczej
    Szkoła Podstawowa nr 35
    42-520 Dąbrowa Górnicza, ul. Uczniowska 24
  • (032)264-04-48

Galeria zdjęć