Gdy koło toczy się po prostej, punkt (np.: gwóźdź) na jego obwodzie opisuje cykloidę. Podczas obrotu koła w każdej chwili punkt na obwodzie koła biegnie ku najwyższemu punktowi lub ucieka od niego, a szybkość jest proporcjonalna do odległości ruchomego punktu od najniższego punktu. Długość cykloidy pomiędzy dwoma ostrzami jest równa obwodowi kwadratu opisanego na kole toczącym się. Jeżeli koło będzie się toczyć z tą samą prędkością, ale będzie dwa razy większe, i będzie miało zaznaczoną średnicę, która z początku będzie pionowa, będzie się ona stale ślizgać po cykloidzie utworzonej przez punkt na obwodzie mniejszego koła. Jeżeli punkt nie będzie umieszczony na obwodzie koła, ale bliżej środka, to otrzymamy krzywą bez ostrzy, natomiast jeśli ten punkt będzie umieszczony na przedłużeniu promienia (poza kołem), powstanie krzywa z pętlami. Ciekawy jest fakt, że kulka tocząca się po cykloidalnej rynience wyprzedza kulkę po pochyłej płaszczyźnie, nawet jeżeli musi część ruchu odbyć w górę.

Figurą geometryczną o zerowym polu jest kwadrat sito, który powstaje poprzez wyeliminowanie z jego środka punktu, podzieleniu go na 4 kwadraty, z każdego powstałego kwadratu wyeliminowaniu środka, podzieleniu go na 4 kwadraty, itd. Po takim zabiegu pozostanie kwadrat z pozostałą nieskończoną liczbą punktów wewnątrz, ale o polu równym 0.

Zwolennicy gier liczbowych (np. Dużego Lotka) wiedzą jak trudno jest trafić choćby trójkę, nie mówiąc nic o szóstce. Prawdopodobieństwo trafienia szóstki wynosi 1/14 000 000, oznacza to, że jest możliwych 14 mln kombinacji 66-cio elementowych ze zbioru 49-cio elementowego. Prawdopodobieństwo trafienia piątki wynosi około 1/54500, prawdopodobieństwo trafienia czwórki: 1/1040, oraz prawdopodobieństwo trafienia trójki 1/57. Prawdopodobieństwo trafienia trójki jest już całkiem spore, ale trafienie trójki jest niewiele płatne. Trzeba więc mieć szczęście i trafić większą ilość liczb.

Na piaszczystej plaży najwygodniej jest wędrować po mokrym pasie piasku pozostawionym przez wycofujące się fale. Tam piasek jest twardy, a jego powierzchnia równa, więc idzie się łatwiej niż po suchej części plaży. Aby uniknąć przemoczenia butów i skarpetek, należy ciągle uważać na fale zalewające przybrzeżny pas mokrego piasku. Można zaproponować prostą regułę postępowania: zamiast patrzeć się w bok, patrzymy w kierunku marszu: w każdym momencie widzimy chwilową granicę wody na sporym odcinku przed sobą. Należy iść w kierunku prostej dotykającej aktualnej granicy wody w jednym tylko punkcie. Kierunek ten jest zmienny, ale punkt styczności leży zazwyczaj dostatecznie daleko, aby zmiany kierunku były nieznaczne i łatwe do realizacji; nie musimy przy tym patrzeć stale w lewo ani też wykonywać nagłych skoków w prawo w ucieczce prze d nadbiegającym językiem fali.

Już w starożytności zauważono, że stosunek długości obwodu okręgu do długości jego średnicy (tak najczęściej definiuje się liczbę pi) jest wielkością stałą i co istotne, wielce przydatną do obliczania pól rozmaitych figur. W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić, czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nie znanych nnam z imienia uczonych. W III wieku przed Chrystusem, Archimedes oszacował pi jako 22/7 (czyli z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku), a do wwyniku 3,1416 doszedł dopiero w II wieku naszej ery Klaudiusz Ptolemeusz.Używany dzisiaj symbol pi nie pochodzi wcale z czasów starożytnych. Wprowadził go w 1706 roku Wiliam Jones (pi pochodzi od pierwszej litery greckiego słowa "peryferia"). Liczba ta nazywana jest również ludolfiną, od imienia Ludolpha van Ceulena, który w 1596 roku podał jej przybliżenie z dokładnością 35 miejsca po przecinku, co w tamtych czasach było ogromnym wyczynem. Obecnie nie ma problemów, aby poznać liczbę pi choćby do milionowego miejsca po przecinku, z pomocą ludziom przychodzą komputery. Jesienią 1995 r. ogłoszony został rekord wynoszący ^ 442 450 000 cyfr. Odpowiednią liczbę osiągnięto za pomocą programu napisanego przez Japończyka Daisuke Takahashi, sprawdzonego niezależnie na dwóch komputerach. Czas pracy każdego z nich wynosił 5 5 dni!!!

Trójkąt pitagorejski to trójkąt prostokątny, którego długości boków są wyrażone liczbami naturalnymi.

Przykłady trójkątów pitagorejskich:

Jeśli pomnożymy długości boków każdego z tych trójkątów przez dowolną liczbę naturalną to otrzymamy również trójkąty pitagorejskie.